数学思维 - (EPUB全文下载)

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书籍内容：

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版权信息
书名:数学思维
作者:[英]郑乐隽
译者:朱思聪 张任宇
出版时间：2020-01-01
ISBN:9787521712612
中信出版集团制作发行
版权所有·侵权必究
送给
我的父母和马丁·海兰德
纪念
克里斯汀·彭布里奇
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15
范畴论是什么
我们在本书前半部分说过，数学的目的是变困难为简单。而我们现在已经看到，范畴论是关于数学的数学。因此，范畴论的目的是变困难的数学为简单的数学。
在本书的后半部分，我们讨论了范畴论达成这一目的的不同方式。现在，我想以一个范畴论学者的方式来总结范畴论：适合范畴论的那只水晶鞋具体指的是什么？也就是说，与其讨论范畴论是什么，不如讨论它扮演了怎样的角色。
真理
人们通常认为数学是非黑即白的。这种说法是不对的——即便一个数学陈述是对的，它也可能是好的或是坏的，有启发性的或是无启发性的，有用的或是没用的，等等。
然而，这个非黑即白的说法也不是完全没有道理。数学的一条重要特性就是，因为它是纯粹由逻辑构建起来的，所以当某个陈述在逻辑上是正确的时候，所有的数学家都会马上同意。这与其他的研究领域很不相同，在那些领域里，人们可以就相互对立的理论永远地争论下去。就像哲学家迈克尔·达米特在《数学哲学》（The Philosophy of Mathematics）里说的：
数学一直在稳步前进着，而哲学仍在它从一开始就遇到的问题那里困惑不解，徘徊不前。
数学事实比其他种类的事实有一种更高的地位。我们此前已经说过，科学家十分尊崇所谓的科学的方法、实验的方法，以及基于证据的知识，也就是那些从已有的确凿证据中推导出来并且可以反复验证的事实。但数学与之完全不同。数学不使用证据，因为证据在逻辑上并不是滴水不漏的。证据是科学的基础，但它不足以为我们带来数学的真理。这就是为什么数学既可以被视为科学的一个分支，也可能被认为与其他的科学体系有所不同。
数学使用“逻辑的方法”，事实仅由不掺杂主观情感的、清晰的逻辑推导出来。数学真理被一致认同的原因在于证明过程：所有的结论都是经过严格论证的，一旦某个结论被证明了，它就不能被反驳。如果你在证明过程中发现了一个错误，那就意味着这个结论从一开始就没有被证明。感谢“证明”这个概念，它让我们掌握了一种完全不可驳斥的方法，用以区分在数学中什么是真的，什么不是真的。我们怎样才能知道某事为真呢？我们证明它。
……我们真的是这样做的吗？
形式数学证明的好处在于，它剔除了论点中的直觉部分。你不需要猜测某人试图说的是什么，也不需要费力解读他们的话，倾听他们语调的变化，或是仔细观察他们脸上的表情，并回应他们的身体语言。你不需要考虑你与他们的关系的性质、他们当时所承受的压力、他们可能喝醉了的事实，或是他们过去的经历对他们现在行为方式的可能影响。你不需要想象某事看起来是什么样子的，你不需要想象八维空间，或是200万个苹果堆成一堆会是什么样子，或是身处北极会有怎样的感觉。所有这些会引发种种问题的细节都被剔除了。
而形式数学证明的问题恰恰就是所有这些细节的缺失。这些会引发问题的细节并不是无用的，它们的作用能够体现在另外一些方面。它们有助于我们从个人的角度理解事物。你也许认为数学不应该讨论个人观点，但最终，所有的理解都是个人观点。这就是理解和知道的差别。形式数学证明也许是严丝合缝的、清晰无误的，但它们很难被理解。
想象一下被一步一步引领着穿过一个黑暗的森林，而你对于你所走过的路线完全没有概念。如果你在这条路的起点被引领者丢下了，你就会找不到出去的路。然而，如果有人能一步一步地带着你走，你就可以穿过黑暗，走到森林的另一边。
数学家和学数学的学生都有过在阅读一个证明时突然意识到“呃，我明白每一步是怎么由上一步推导出来的，但我不明白它总体上讲的是什么”的经历。我们能看懂一个正确的证明，并且完全确信证明中的每一步都是遵循逻辑规则的，但我们可能仍然无法理解整个证明。这里有一个关于一个看似无关紧要的事实的纯粹的形式证明：任何命题都蕴涵（imply）它自身。注意这里的“imply”指的是逻辑蕴涵。在数学逻辑里，蕴涵一词的用法和其在日常生活中的用法不同——前者要严格很多。“A蕴涵B”指的是如果A成立，那么B必然成立，毫无疑问。而在日常生活中，我们会在说“你是在暗示（imply）我是傻瓜吗”这样的句子时使用这个词，在这里，这个词更多是指暗示或含沙射影的意思，而非指某事是确凿无疑的事实。
回到我们刚刚提到的任何命题都蕴涵它自身这句话。这句话的意思有点儿像事物与它自身等价，因此其最显而易见的表达式就是：
x=x
因此，这个表达式对于逻辑上的蕴涵想必也是适用的。比如：
• 如果我是女孩，那么我就是女孩。
• 如果天在下雨，那么天就在下雨。
• 如果1+1=2，那么1+1就等于2。
然而，这个陈述的严格证明复杂得近乎荒谬。在如下所示的表达式中，箭头符号指的是“蕴涵”。以下是关于任何命题p都蕴涵它自身的完全严格证明，其中我们用到了形式逻辑的公理。
我承认，我本人认为这个证明非常令人激动且让人满意，不过就连数学家也未必同意我的看法，因此如果你们觉得整个证明不知所云，我深表理解。我把它写在这里，目的是让你了解就连那些最基本的逻辑命题也可能需要看上去如此复杂的证明过程这一事实。非数学家往往认为他们永远不会理解数学家 ............

书籍插图：

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