北大微讲堂：数学的发展与创新 - (EPUB全文下载)

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目录
正文
1. 问题的重要性：费马猜想
2.大师的典范：欧拉
3.年轻人的榜样：伽罗华
附录
主讲人介绍：
现场视频精选：
正文
谢谢大家。非常高兴今天有机会同大家做一个交流。我是一个很普通的老师，没有什么特别的本事，当初还不如大家，因为我回来念研究生的时候，已经是33岁了，在座的恐怕没有那么大年纪的研究生了。还要声明一点就是我是个不会做演讲的人，甚至有点害怕做演讲。
原因大概跟我做数学有点关系，因为数学是一个非常严密的科学，所以影响到平时讲话，也追求严密、精炼——说多了就不严密了，言多必失，所以我现在就是有这个问题。说的好听一点叫做言简意赅，说的不好听就是讲话干巴巴，缺少情趣，可能不能满足大家的要求。另外可能讲的时间也不会那么长，因为讲到一定的时候就没什么好讲了。
好在我们有一个问答的环节，大家互动的问答我是比较愿意做的。现在这种讲法就是单向的，单向的交流不叫交流，互动才是真的叫交流。我们互动的时间可能会延长一点，讲的时间会稍微的短一点。
对于“才斋讲堂”我原来不是很了解，刚才听了王校长的介绍，我初步了解后觉得这是一个很好的活动，可以活跃大家的思想，开阔大家的视野，培养创新的意识。才斋讲堂的宗旨就是促进创新型人才的培养和创新成果的产出，所以我就选了这么一个题目叫《数学的发展与创新》。正好我在2007年的时候开过一门数学学院本科生的选修课《现代数学选讲》，
里面的内容也是讲数学的一些历史的发展和创新的事例，当时我写了一个
引言，主要是要表达课程的目的，今天我把这个引言作为本次演讲的开场白。
现在我们的教学方式以教科书的形式，强调了数学的系统性，逻辑性和技巧性，这些对于同学们学好数学的基本功是非常必要的。但是另一方面比较少的涉及数学发展的历史过程，特别是数学思想从个别到一般的发展过程。
数学概念和方法的发展总是从个别到一般，比如从一匹马三头牛到自然数的发明就是这样的，以后又逐步发现了整数，也就是把零和负整数加到自然数里面，就形成了整数、有理数、无理数、复数，这个过程就经历了几千年，最后才总结归纳出“数域”的抽象概念，到现在也有100多年的历史。所以，数学理论的发展往往要经过几代数学家的不断努力，“去粗取精，去伪存真”，最后才形成成熟的精确理论。例如大家下了很大工夫学习的数学分析，一开始是牛顿和莱布尼兹在前人工作的基础上总结出微积分的原理，这大概是在350年以前。在很长的时间内它被广泛应用于物理和天文，取得了很大成绩，可是它并没有建立在严密的分析基础上。到了19世纪初，柯西才开始建立严格的数学分析，给出“连续函数”的定义。现在我们教科书采用的“
ϵ
−
δ
”
定义是魏尔斯特拉斯在19世纪中叶给出的。
我们的学习是一个相反的过程，是从一般到个别，从概念到问题，从公理到定理，从理论到应用，大体上可以叫做“演绎”的过程。至于这些概念和理论是如何产生的以及它们的发现过程，书上基本不讲，给人的印象是很神秘的。实际而言，数学的真实发展是从问题到概念、从个别发现到一般的定理，最终才形成一个系统理论。大体上是一个长期的“归纳”过程，所以从某种意义上说我们的学习是不完整的，只注重“演绎”，而不是“归纳”。我们希望今天这个课程对被忽视的部分补上一点，至少能引起大家的重视。
这里面讲归纳的历史过程，实际上就是讲数学家长期探索和发现、发明和创造的过程，或者简单地讲就是创新的过程。现在的教学实际上没有讲当初数学是怎么发展的、人们是怎么发现数学科学真理的？这实际上是一种缺陷。但是目前我们的教学形式是几百年一以贯之过来的，很难在短时间内改变。所以我希望同学们能够主动去追寻这些发展过程，从教科书
里面多提一些问题，为什么这么做，为什么那么做，来弥补这种空白的缺
陷。
杨振宁先生曾经讲过他的经历，他说他从1938年到1942年在西南联大学习的时候，学习的是一种“演绎法”：先有许多定理，然后再进行推演。到了美国芝加哥大学才发现，那里是倒过来的，是从现象出发归纳出来物理定理是“归纳法”。他认为要做好学问必须要把两者很好地结合起来。其实这个道理不仅是对物理学，而且对其他的自然科学也是正确的，对数学也是对的。
但是数学和自然科学有一个根本的不同，所有的自然科学，比如说物理、化学、天文、地理、生命等学科，
都可以归类为“经验科
学”，它们的知识和理论必须建立于可以观测的现
象之上，而且必须经得起科学实验和实践的检验，
即所谓“实践是检验真理的惟一标准”
。纯粹的数学则不然，它是从大家公认的一些概念和原则出发，这些原则数学里就称之为公理，这些原则经过时间的检验，一旦确立了以后，就从这些原则出发，按照严密的逻辑法则去推演出各种定理。数学命题，它实际上是不能用实验的办法去验证的，而只能通过逻辑推理来证明。
大家比较熟知的例子就是哥德巴赫猜想，因为陈景润很有名，到现在为止他做哥德巴赫猜想还是做得最好的，当然没有完全证明。这个猜想，就是说任何大于2的偶
数是两个素数的和。这个东西是很简单的，很容易懂的。因为素数大家知
道，只能被1和它本身整除的数，比如说2、5、7、11、13这样的一些数字。那比如说8就是3加5，3和5都是素数，那这个命题你可以去拿出无数的例子来去辩证它都是对的，你用计算机输入去验证它也是对的，但是它仍然不能成为数学家认可的定理，原因就是它没有被严格的证明。用数学推理的方法来证明，这是数学跟其他自然科学不同的地方。但是数学这种方法其实是一种分析，是思维的一种方法，也就是说你会发现通过数学的分析论证，很多复杂的现象最后可以归结为一些基本的原理。这一件事情如果做得好的话，就可以使你对复杂事物的本质比较容易地看清楚。就这个问题举一个例子，就是大家中学都学到的平面几何，基本的概念很简单，就是点线面这些东西，然后有一些公理，比如说过两点可以有一条而且只有一条直线通过。平面几何的定理有一些很难证明的事实、非常难的题目，最终它们都是建立在几条非常基本的公理上面的。
既然数学只能用严格的模具推理来证明，所以“严密性”对于数学就非常重要，因为它是检验数学真理的惟 ............

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