北大微讲堂：数学、科学与技术 - (EPUB全文下载)

文件大小：0.63 mb。
文件格式：epub 格式。
书籍内容：

目录
正文
附录
主讲人介绍
现场录音精选
课程讲稿
正文
 
今天，我首先想感谢研究生院热情的邀请，非常高兴能在这儿跟大家讲一讲数学。我很少做这种演讲，所以难度是比较大的，因为做关于自己研究的演讲要相对容易得多。但是我认为，研究生院的这项工作非常有意义，作为一个北大的毕业生，我当然应该大力支持。我本科是在南京大学读的，是在北大读的硕士研究生，北大的这段经历对我的事业发展起了非常重要的作用，后来我又回到北大工作，所以我是北大人。
我非常愿意给同学们讲一讲我对数学的一些看法，或者是跟大家分享一下学习和研究的感受。早先给的这个题目实际上比较大，我肯定是讲不了那么多，我想就我比较熟悉的东西给大家介绍一下。
数学这个学科，很多人可能觉得比较难。比如说在有些场合，当别人问起我是做什么的，我说是研究数学的，他们就会一笑说，好，好。边说边离开了。也就是说，没有话题再继续聊下去了。甚至一些学数学的学生，也觉得数学很难。但实际上，数学在我们生活中到处都是，只不过我们有时候不会注意它。我今天希望从我的研究活动的一些侧面，给大家讲一下数学的重要性。而且，讲得大一些，我们国家要成为世界强国，发展数学是非常重要的；讲得小一些，北京大学要成为世界一流大学，数学也是非常重要的。
让我们先稍微回顾一下数学的历史。数学（mathematics) 这词在西方源自于古希腊语，指学习、学问、科学，这词在英文中包含学习和思考的意思，人要学会动脑筋，当然是非常重要的。“数学研究”有较狭隘且技术性的意义。数学有许多分支：几何、代数、数论、微分方程、拓扑、调和分析、概率等。数学早期主要用于商贸、土地测量、绘画、绣制及日历等。直到公元前3000年左右，在古巴比伦、古埃及、古代中国等才出现算术、代数和几何这些较复杂的数学， 用于税收、商业计算、建筑和天文等。
中国古代有一部数学专著叫做《九章算术》，是一本非常重要的书，它系统地总结和介绍了战国秦汉时代的数学成就，全书共246个数学问题，但老实说，我没有仔细看过。该书分九章，包含了一些重要的数学方法和思想。比如，我们现在看来分数运算是比较简单的，我们在小学的时候就开始接触这些运算，但是在几千年前，人们能够认识分数并进行一系列演算，还是一件了不起的事。又比如，介绍了开平方、开立方的方法，还有求解反问题的方法，就是说已经知道了面积、体积以后，怎么来求几何图形的边长、直径等。《九章算术》中还有与代数有关的内容，就是方程，提出了一些求解方程的方法，其中有一些运算和现在我们所学的数学的部分内容是一致的。
我下面主要介绍现代数学。古希腊在现代数学中占有很重要的地位。作为一个独立学科，西方史学家通常认为数学的系统研究起源于古希腊，大约在公元前600年。数学，尤其是几何学所涉及的对象，虽然跟实际问题密切相关，但又是一个抽象的东西。它同生活中的实物有关，但又不是来自于某一具体事物。几何学在古希腊具有很高的地位，学习几何被认为是寻求真理的一个最佳途径。据称，古希腊的著名哲学家柏拉图曾说过：上帝就是几何学家。这说明，在古希腊文化中，几何的地位是非常高的。
当然，几何学也可以追溯到古埃及、古巴比伦等文明古国，但是缺乏系统性。在公元前300年左右，欧几里得完成了《几何原本》，这是第一本系统研究几何的书。我在读中学的时候，我的父母亲下乡，我基本上是跟外婆在一起住，学校上课也不像现在功课这么多，所以有很多时间可以自己安排。有一次我母亲给了我一本《几何原本》，让我读一读。我当时虽然觉得这书蛮有趣，可没有好好地读，因为我觉得许多内容不好理解。尽管我中学几何学得不错，但是看《几何原本》还不很懂得它的意义。比如说《几何原本》开始的部分讲什么时候两个三角形全等，这个看上去好像很显然。两个三角形在平面上，如果我们把一个三角形平移到另一个三角形的位置，并通过一定的旋转，能够让这两个三角形一样的话，就代表这两个三角形是全等的。这个道理显而易见，我当时不很明白，为什么这么简单的东西还要这么费劲的确认。后来才明白，这是非常重要的，严密的定义和概念是欧几里得几何以及现代数学的基础之一。
《几何原本》全书分13卷，有5条“公理”或“公设”、23个定义和467个命题。欧几里得由公设和定义出发，用严格的逻辑推理，推导出命题。他严格证明了毕达哥拉斯定理，即“勾股定理”，从而确定了勾股定理的正确性。当然在中国古代我们也有勾股定理的证明和记载，但是欧几里得的证明有不同的意义，它是首次从一定的公理或公设出发严格推导的。现在已知的勾股定理的证明方法有很多种。如图1，在直角三角形三边上向外分别作正方形，很容易验证勾股定理。
图1 勾股定理的证明
 
欧几里得几何学成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。在之后的两千多年间，这一严格的思维形式， 不仅用于数学，也用于其他科学，甚至用于神学、哲学和伦理学，产生了深远的影响。但是其中似乎显然的“平行公设”：“通过一已知点，能作且仅能作一条直线与已知直线平行”却遭到质疑。这也称为“第五公设”。《几何原本》头四条公设为：1.由任意一点到任意一点可作直线。2.一条有限直线可以继续延长。3.以任意点为心及任意的距离可以画圆。4.凡直角都相等。这几条公设是很直观的，至少在我们所在的生活空间，这个是很显然的。第五公设相比不那么显而易见。第五公设能否作为公设，还是作为定理？这就是最著名的，长达两千多年的关于“平行线理论”的争论。两条直线，其中有一条无穷长，沿着另外一条不间断地向前走，永远不相交到第一条直线上，这个怎么理解？这条公理是不是独立的？第五公设能不能用其他四个公设推导出来？有的人说可以，有的人说不可以，有的人想办法证明它不可能。直到1830年左右，俄国的年轻数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家雅诺什发现了第五公设不可证明，创立了非欧几何学。平行公设并不是几何学必要的公设。
雅诺什在研究非欧几何学的过程中曾遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶•法尔卡什认为他的研究是耗费精力、劳而无功的蠢事，劝他放弃。事实上，雅诺什的父亲一辈 ............

书籍插图：

以上为书籍内容预览，如需阅读全文内容请下载EPUB源文件，祝您阅读愉快。