数学 - (EPUB全文下载)

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目录

前言
序言
第一章 模型
第二章 数与抽象
第三章 证明
第四章 极限与无穷
第五章 维度
第六章 几何
第七章 估计与近似
第八章 常见问题
索引
前言
20世纪初，伟大的数学家大卫·希尔伯特发现，有很多数学中的重要论点在结构上十分类似。他意识到，在适当的广义范畴下，这些论点事实上可以视为等同。与此类似的一系列发现为一个崭新的数学分支开启了大门。而这一新领域中的一个核心概念——希尔伯特空间——正是以希尔伯特的名字来命名的，这一概念使许许多多的现代数学研究变得清晰，范围之广包括了从数论直到量子力学各个分支，以至于如果你对希尔伯特空间的基本理论一无所知，你就根本不能算是一名受过良好教育的数学家。
那么，什么是希尔伯特空间呢？在典型的高校数学课程中，它被定义为“完备的内积空间”。修读这样一门课程的学生，理应从先修课程中了解到，所谓“内积空间”是指配备了内积的向量空间，而所谓“完备”是指空间中任意柯西列都收敛。当然，要想理解这样的定义，学生还必须知道“向量空间”、“内积”、“柯西列”和“收敛”的定义。就拿其中一个举例来说（这还并不是最长的一个）：序列x1，x2，x3，…若满足对于任意正数ε，总存在整数N，使得对于任意大于N的整数p和q，xp与xq间的距离不大于ε，则称这个序列为柯西列。
简言之，如果你希望了解希尔伯特空间是什么，你就必须首先学习并且消化一系列由低到高、等级分明的较低级概念。毫无疑问这需要耗费时间和精力。对于许多最重要的数学思想来说都是这样。有鉴于此，要写一本书提供对数学的简单易懂的介绍，其所能达到的目标就极为有限，更何况这本书还需要写得很短。
我没有选择用更聪明的办法绕着这个难题走，而是集中关注数学交流中另一重完全不同的障碍。这重障碍并非技术性的，而更多属于哲学性质的。它区分开了两种人：一种人乐于接受诸如无穷大、负一的平方根、第二十六维和弯曲空间这样的概念，另一类人则觉得这些概念荒诞不经。其实无须沉浸在技术细节中，依然有可能坦然接受这些思想，我将努力表明如何做到这一点。
如果说这本书要向你传达什么信息的话，那就是——我们应当学习抽象地思考，因为通过抽象地思考，许多哲学上的困难就能轻易地消除。在第二章里，我将详细说明什么是抽象的方法。第一章中则考虑我们更熟悉、与日常更相关的抽象：从现实世界的问题中提取核心特征，从而将其转化为数学问题的过程。第三章中我将讨论什么叫作“严格的证明”。这前三章是关于一般性的数学的。
之后我将讨论一些更加具体的课题。最后一章与其说是关于数学的，不如说是关于数学家的，因此会跟前几章有些不同。我建议你在读过第二章后再阅读后续章节。除此以外，这本书已经尽量做到不受先后顺序影响——在任何章节中，我并没有假定读者已经理解并记住了先前的内容。
读这本书并不需要太多的预备知识，英国GCSE课程[1]或同等水平即可。不过我假定读者具有一些兴趣，而不是需要靠我去大力宣扬。因此，我在书中没有用到趣闻轶事、漫画、惊叹号、搞笑的章节标题或者曼德布罗特集合[2]的图片。我同样避免了混沌理论、哥德尔定理等内容：与它们在当前数学研究中的实际影响相比，这些内容在公众的想象中所占的比例已经过大，而且其他图书已经充分地阐释了这些内容。我所选择的内容都是很普通的，详细地去讨论，以说明怎样通过一种更深刻的方式来理解它们。换言之，我的目标在深不在广，在于向读者传达主流数学的魅力，让读者体会到它的不言而喻。
感谢克雷数学研究所和普林斯顿大学在我写作此书期间对我的支持和热情接待。感谢吉尔伯特·阿代尔、丽贝卡·高尔斯、埃米莉·高尔斯、帕特里克·高尔斯、乔书亚·卡茨和埃德蒙·托马斯阅读了本书的初稿。他们非常聪明，知识丰富，实在不能算作普通读者，不过还是能够让我放心，至少某些非数学专家是能够读懂我的作品的。基于他们对此书的评论，我作出了许多改进。我把这本书献给埃米莉，希望她能够借此了解一点点我整天都在做的是些什么事情。
【注释】
[1] 约相当于初中水平。——译注，下同
[2] 分形的一种。
序言
李大潜
数学是绝大多数人学得最多的一门功课，但对于“数学是什么？”这一看来很普通的问题，却很难一下子给出一个使公众满意的回答。按照恩格斯的说法，数学是以现实世界的空间形式和数量关系为研究对象的。尽管人们现在对空间形式和数量关系的理解已经大大深化和拓展了，但作为一种哲学的概括，恩格斯的这一论断应该说并没有过时，也便于向公众表述并为公众所接受。然而，要真正深入地回答“数学是什么？”这个问题，不能仅仅从定义出发，而必须涉及数学的具体内涵，作一些比较深入的解释和说明，才能达到使人信服的效果。但是，要这样做，会常常碰到下面两个似乎难以克服的技术上的困难。
第一，数学内涵的展现离不开众多的术语、记号和公式。在公众对有关的数学内涵产生兴趣并开始有所领悟之前，很可能早已为这些术语、记号和公式搞得晕头转向甚至望而却步了。
第二，数学内涵的展现同样离不开必要的逻辑推理。推理若过分严密，很难引起公众的兴趣；但若过于粗疏，语焉不详，则又易使人不得要领。
在现在的这一本书中，看不到很多的术语、记号和公式，对有关的数学概念及内涵一律用简明而生动的语言来介绍，看似如数家珍，娓娓道来，但举重若轻，高屋建瓴，反而更好地揭示了本质。不熟悉有关数学内容的读者，会感到茅塞顿开、豁然开朗；而已经熟悉有关内容的读者，也会有如沐春风、别开生面的感受。书中在论述极限时，用有限来刻画无限的生动而细致的处理方式，虽然本质上是经典的ε-N（或ε-δ）数学描述的一套直观而通俗的说法，但脱离了数学记号和公式，更显得清楚和亲切，就是一个典型的范例。书中对黄金分割比是一个无理数的证明、用地图册来介绍微分流形的概念等等，都同样独具匠心，可圈可点。另一方面，作者在不便于或不需要进行严格数学推导的时候，会巧妙地绕过去，但对于必要的推导和论证，绝不偷工减料，而是不遗余力地以十分详尽的方式加以说明，一步步地将读者引向有关的结论，同时也加深了读者对逻辑论证严密性的理解。在这方面，关于数系的 ............

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