用Python学微积分 - (EPUB全文下载)

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目錄
关于 
第一部分 单元微积分 
函数 
复合函数 
欧拉公式 
泰勒级数 
极限 
大O记法 
导数 
牛顿迭代法 
优化 
不定积分 
欧拉方法 
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谨以此书献给我亲爱的家人
Python部分利用到了Numpy,Matplotlib,Sympy等Library.
建议新手安装Enthought的
Canopy Python Distribution
，本书中用到的Library就都满足了。
推荐的函数库调用方法：
    import numpy as np

    import matplotlib.pyplot as plt

    import sympy
函数
我们可以将
函数(functions)
想象成一台机器$$f$$，每当我们向机器提供输入$$x$$，这台机器便会产生输出$$f(x)$$。
这台机器所能接受的所有输入的集合称为
定义域(domain)
，其所有可能输出的集合称为
值域(range)
。函数的定义域和值域有着非常重要的意义，如果我们知道一个函数的定义域，便不会将不合适的输入丢给函数；知道函数的值域，便能判断一个值是否可能是这个函数所输出的。
一些函数的例子：
1.
多项式(polynomials)
：
$$f(x)=x^3-5x^2+9$$
因为这是一个三次函数，当$$x\rightarrow -\infty$$ 时 $$f(x)\rightarrow -\infty$$；当$$x\rightarrow \infty$$ 时$$f(x)\rightarrow \infty$$，因此这个函数的定义域和值域都是实属集$$\mathbb{R}$$。
在Python中，我们这样定义上面这个函数：
    def f(x):

        return x**3 - 5*x**2 + 9
函数定义好后，我们可以测试一下其是否正确：
    print f(3)

    -9

    print f(1)

    5
读者可以自行计算一下，与Python中我们所定义函数所给出的结果比较一下。
通常，将函数绘制成函数图能够帮助我们理解函数的变化。
    import numpy as np

    x = np.linspace(-5, 5, num = 100)

    y = f(x)

    import matplotlib.pyplot as plt

    plt.plot(x,y)
2.
指数函数(Exponential Functions)
:
$$exp(x)=e^x$$
其定义域为$$(-\infty,\infty)$$，值域为$$(0,\infty)$$。在Python中，利用欧拉常数$$e$$可以如下方式定义指数函数：
    def exp(x):

        return np.e**x

    print exp(2)

    7.3890560989306495
或者可以使用numpy自带的指数函数
    print np.exp(2)

    7.3890560989306495
指数函数的函数图：
    plt.plot(x, exp(x))
注意到，上面的Python定义中，我们只是利用了numpy中现成的欧拉常数$$e$$,如果没有这个神奇的常数，我们是否就无法定义指数函数了呢？答案是否定的：
    def exp2(x):

        sum = 0

        for k in range(100):

            sum += float(x**k)/np.math.factorial(k)

        return sum

    print exp(1), exp(2), exp(3)

    2.718281828459045 7.38905609893 20.0855369232

    print exp2(1), exp2(2), exp2(3)

    2.7182818284590455 7.38905609893 20.0855369232
上面定义中的奇妙公式：
$$e^x = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$$
究竟是从何而来，又为何是这样的，将是本书讨论的重点之一。
3.
对数函数(Logarithmic Functions)
:
$$log_{e}(x)=ln(x)$$
对数函数是指数函数的反函数，其定义域为$$(0,\infty)$$，值域$$(-\infty,\infty)$$。
numpy为我们提供了以$$2,e,10$$为底的对数函数：
    x = np.linspace(0,10,100,endpoint = False)

    y1 = np.log2(x)

    y2 = np.log(x)

    y3 = np.log10(x)

    plt.plot(x,y1,'red',x,y2,'yellow',x,y3,'blue')
4.
三角函数(Trigonometric Functions)
:
周期性是三角函数的特点之一，同时，不同三角函数的值域和定义域也需要我们牢记，下面是Python绘制的一些三角函数的函数图：
    plt.plot(np.linspace(-2*np.pi,2*np.pi),np.sin(np.linspace(-2*np.pi,2*np.pi)))
    plt.plot(np.linspace(-2*np.pi,2*np.pi),np.cos(np.linspace(-2*np.pi,2*np.pi)))
这里我们没有给出 ............

书籍插图：

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