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书籍内容：

音乐是怎样算成的
[以]阿里·马奥尔　著张岭　译
版权信息
书名：音乐是怎样算成的
作者：[以]阿里·马奥尔
译者：张岭
版权：后浪出版咨询（北京）有限责任公司
谨以此书纪念我的外祖父卡尔·施蒂费尔（Karl Stiefel，1881—1947），正是他培养了我对科学和音乐的热爱。
前 言
伟大的作曲家伊戈尔·斯特拉文斯基（Igor Stravinsky）曾经说过：“音乐这种形式和数学较为接近——也许不是和数学本身相关，但肯定与数学思维和关系式有关。”的确，许多作家对数学与音乐之间的密切关系都曾加以评论。他们指出，很多科学家都喜欢聆听音乐，甚至亲自演奏乐器；每论及此，阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）和他那把标志性的小提琴就会浮现在我们的脑海中。除此之外，类似的例子不胜枚举。
这一说法可能是正确的，但是在过去，这两个领域之间的关系从未真正保持对称。例如，数学和音乐都采用某种行之有效的符号系统——一组书面符号（尽管音乐领域还有许多口头术语，更多地用于标识演奏时的情感），业内人士均能精确地领悟和把握。另外让人感兴趣的是，尽管数学领域由于新的分支不断涌现，其所采用的符号系统时至今日仍在不断发展，但这两套系统大致在相同的时间，即公元1 000年左右，开始起步。
数学和音乐也共享不少术语。以“调和”（harmonic）一词为例，它作为形容词时，意思是“悦耳的”；如果作为名词，指的则是所有乐器合奏时所形成的一系列高亢的泛音。如今，这个词在数学和音乐领域都得到广泛运用；两卷本的《百科全书数学词典》(Encyclopedic Dictionary of Mathematics)至少列出了20多个该词汇的用法，包括“调和平均数”（harmonic mean）、“调和级数”（harmonic series）、“调和分析”（harmonic analysis），以及“调和函数”（harmonic function）。其他通用的术语还包括“转位/逆”［inversion，音乐的音程（interval）的转位/相对于圆的某个点的逆点］、“根音/根”（root，音乐和弦的根音/数字或者方程的根）、“进行/数列”（progression，音符的进行/数字的数列）、“音列/序列”［series，在音乐领域，阿诺德·勋伯格（Arnold Schoenberg，1874—1951）的十二音谱曲法用到了“音列”的概念；在数学中，求无限项的总和时则会用到“序列”的概念］。
过去的250年间，音乐一直是数学家的灵感源泉，他们在这眼泉水里总能找到非常特别的问题，让自己的头脑保持工作状态。其中，最著名的可能就是“振动弦”（vibrating string）的问题。18世纪，这个问题成为某些最伟大的数学家之间相互对垒的议题，而与此相关的争论持续了50多年，最终导致了后微积分时代的数学发展。对于两个正数a和b，其算术平均值（arithmetic means）、几何平均值（geometric means）和调和平均数（harmonic means）分别为A=、G=和H=，这三种公式极有可能源自八度的2:1、五度的3:2和四度的4:3这三个比例，它们均为毕达哥拉斯的“完全协和”（perfect consonances）音程——正如形容词“悦耳的”所蕴含的意味。作为数论的一个分支，处理连分数的理论可能就源于探求音阶（scale）中各种音程的最佳数值比的过程。
但是，数学是否对音乐也产生了同样的影响呢？显而易见，数学对音乐的技术层面有更多的发言权，例如对乐器的音调，或者如何设计音乐厅使其实现最完美的声响效果等。然而，对作为艺术的音乐而言，除了一些特例，数学产生的影响相当有限；这两个学科都各自遵循着自身的发展规律。这种认为两者相互独立的典型观点，可以参考莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）关于音乐理论的诸多论述（参见第四章），尽管有人指出，“对音乐家来说，它包含的几何知识过于庞杂，而在几何学家看来，它囊括的音乐知识又太过繁复”。
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我在一个热爱欧洲文化——文学、艺术和音乐的家庭中长大。我的父母都没有受过音乐训练，但是，我的母亲是一位艺术家，她非常热爱莫扎特；每当她坐在桌旁，描绘那些美丽的花朵时，她总会把收音机调到古典音乐频道。因此，莫扎特和他的音乐，以及母亲告诉我的关于他的许多故事，都成为我童年生活的一部分。有一天，她带我去看一部讲述莫扎特生平的电影。那时，距离彼得·谢弗（Peter Shaffer）虚构的《阿马德乌斯》(Amadeus)①成为头条新闻，还有几十年的时间。我记得，当看到莫扎特处于弥留之际，仍在病榻上向他的弟子苏斯迈尔（Süssmayr）口授那部未完成的《安魂曲》(Requiem)时，我不禁为他人生中的这最后一幕潸然泪下。
但是，使我对科学和音乐保持终生热爱的实际上是我的外祖父。1938年，由于纳粹的严酷统治，犹太人的生活难以为继，他和我的外祖母离开德国，前往以色列（接着又到了巴勒斯坦）。我有一张他的照片（参见写有献辞的那一页），［1］当时我大约五岁，照片中他正为我演奏小提琴。在这张由我母亲拍摄的照片背面，她写上了那首外祖父为我演奏的歌曲的名字——《可爱的月亮，你走得如此安详》(Guter Mond, du gehst so stille)，这是一首传统的德国摇篮曲。［2］那成为我人生中的第一场现场演出，时至今日，往昔的情景依旧历历在目。直到有一天，外祖父告诉我说他必须和小提琴说再见了——他迫切地需要钱。顷刻，我泪流满面。［3］
另外，我还有一本外祖父在中学（高中）学习时用过的物理书。这本书于1897年出版，附有数百幅精美的插图；更重要的是，它报道了物理学的最新进展，包括X射线［当时被称为“伦琴射线”（Röntgen rays）］的发现及其对医学的潜在益处。他肯定非常认真地研读过这本书，因为几乎每一页都有他手写的注释。我们会一起坐上好几个小时，他向我解释各种各样的东西，这是我接受的最早的科学启蒙。我至今还保存着这本书，并 ............

书籍插图：

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