数学世界的探奇之旅 - (EPUB全文下载)

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书籍内容：

注释
第1章 虚拟的“居民”？
第2章 史前人类的计数系统
第3章 毕达哥拉斯：万物皆是数字
第4章 欧几里得：几何定理的完美证明
第5章 阿基米德：用沙粒填满宇宙
第6章 斐波那奇：阿拉伯数字的登场
第7章 培根：数学是自然科学的钥匙
第8章 高斯：神通广大的虚数
第9章 牛顿：微积分与宇宙观
第10章 卡尔达诺：概率与“水晶球”
第11章 麦克斯韦：关于电磁波的数学方程组
第12章 康托尔：让一众科学家挠头的无穷大
第13章 爱因斯坦：量子物理与抽象数学
第14章 诺特：对称之美与隐形恶龙
第15章 数学的力量？
本部分所标页码都为原版书页码。——编者注
版权信息
书名:数学世界的探奇之旅
作者:[英]布赖恩·克莱格
译者:胡小锐
ISBN:9787508680330
中信出版集团制作发行
版权所有·侵权必究
献给
吉莲、丽贝卡和切尔西
当把数学原理应用于现实时，它们是不确定的；当它们确定时，又不适用于现实。
——阿尔伯特·爱因斯坦，《相对论杂谈》（1922）
第1章
虚拟的“居民”？
本书将探讨一个非常重要的问题：数字，或者说广义的数学，是一种真实的存在吗？这个问题对于科学家乃至我们所有人而言都具有非常重要的意义。然而，包括科学家在内的大多数人几乎从来不会考虑这个问题。
乍一看，这似乎是一个非常荒唐的问题，不要说写成一本书，就是考虑30秒钟的时间都是一种浪费。数字当然是一种真实的存在。看一眼银行对账单，就能找到答案，因为那上面有大量的数字，其中大多数都是负数，表示从账户流出的现金。数学专业人士也知道这个问题的答案，因为我们上学时要完成大量作业，接触的都是真实的数字。但是，我在这里所说的“真实”具有不同的含义。加深对科学的理解，确定数字和数学是否真实地存在于宇宙之中，具有非常重要的意义。在人们没有想到数字前，它们也是存在的吗？还是说数字是人类的重要发明，是一个重要的虚幻世界中的虚拟“居民”？
我们知道，数学可以完全脱离现实，与现实世界不发生任何本质上的联系。事实上，数学家一直是这样做的。数学（mathematics或maths）的最终目的就是制定一系列规则，帮助我们完成整个过程并最终得出某个结果。在定义这些规则时，我们可以使其与我们对现实世界的观察结果保持一致，也可以根据我们的意愿，让它与现实世界截然不同，以产生怪诞而美妙的效果。有的数学家就喜欢这种遨游另类世界的梦幻之旅。
举一个简单的例子。现实世界有三个空间维度（然而，物理学的弦理论试图结合考虑重力等自然力，要求空间具有9个或10个维度），但是空间有1、2、4、79个还是5 000个维度，对于数学而言都不是问题。“大魔群”这个数学概念深受数学界的欢迎，该群的元素是在196 883维空间中旋转。在研究“大魔群”时，我们难免会想起《绿野仙踪》中那句非常经典的话：“托托，我觉得我们现在已经不在堪萨斯了。”
尽管数学家在研究这些群时，考虑的都是纽结这种非常普通的内容，但是他们对纽结的定义与我们系鞋带时打的绳结没有任何相似之处。出于便利实用的考虑，这些数学家规定他们用来打结的“绳索”必须头尾相接，形成一个不间断的环。我们知道现实世界的绳结是不一样的，虽然数学家（他们不是非常关注世俗生活）也知道两者之间的不同，但是他们并不在乎，因为他们有权制定这样的规则。
同样的道理，我们也可以设计一个数学系统，并规定2 + 2 = 5。这个等式在现实世界行不通，但是在设计一个数字系统时，完全可以给出这样的定义。数学上有一个常用的系统，叫作时钟算术，可以将2 + 2的值定义为0或者1。在这个系统中，数字并不是一直累加，而是像钟表上的数字一样，达到某个特定值就会重新变为0。的确，这些数字与现实世界存在某种相似性。从名称可以看出，时钟算术与时钟有相似之处。例如，在12小时制的钟面上，9 + 6 = 3。与传统的计数方式相比，这种运算可以更好地表示循环变化。这个例子说明两个问题：第一，数学具有任意性；第二，下定义时必须谨慎。尽管钟表上的数字9与数山羊时的数字9有某些相同之处，但两者是不一样的。
反过来，从现实世界这个角度来看，即使没有丰富的数学知识，我们也能走好自己的人生旅程。长久以来，绝大多数人都是这样生活的。一些非常简单的算术就像是预先编写的程序一样。比如，在碗中放入一个东西，然后再放一个，又悄悄地把第二个藏回手心。这时候，无论是狗还是小孩，在看到碗中只有一个东西时，都会感到惊讶。对于哺乳动物而言，“1 + 1 = 2”似乎是一个初级的程序。毫无疑问，这也是一个非常重要的程序，因为在面对超过一个敌人时，它可以帮助你计算取胜的可能性。其余的数学知识，大多是后来我们不断获取的。然而，数学的重要意义已经得到了证明。
如果没有数学，在现代文明中占有重要地位的科学与技术几乎都会化为泡影。数学贯穿于我们的生活当中，我们不仅在日常活动（如商店中发生的交易）中要用到数学，在了解疾病分布或者选举结果的影响力时也离不开数学。数学是一门非常重要的学科，它可以帮助我们理解周围世界的基础结构和原理，因此我们必须好好掌握这门学科。但是，遗憾的是，很多人发现数学非常难学，甚至觉得学数学是一件很痛苦的事，因此千方百计地逃避这门学科。2012年，英国有一篇关于世界数学日的文章指出：
我们还知道，很多成年人就是不喜欢数学，也不知道为什么要学习数学。在说到自己“数学学得不好”时，很多人一脸坦然，毫无羞愧之意。这种状况在世界其他地区并不多见。英国人对待数学的消极态度从孩童时期便开始了。有人认为，很多孩子在7—9岁时会遭遇对数学兴趣减退、成绩下降的问题，而且绝大多数孩子从此一蹶不振。他们的兴趣会发生转移，觉得数学枯燥乏味，到最后，他们会彻底放弃数学……随后，这个过程还会继续发生，兴趣不足与信心缺乏的问题又由父母传递给下一代。（斗胆提出一个问题：是不是也有老师参与其中呢？）
文章指出，英国人对待数学的态度尤其消极。而我认为，不仅在美国，在全世界很多地区都能看到同样的问题。其实，厌恶数学的态度古已有之。415 ............

书籍插图：

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