浴缸里的惊叹：256道让你恍然大悟的趣题-顾森 - (EPUB全文下载)

文件大小：1.81 mb。
文件格式：epub 格式。
书籍内容：

目录

封面
扉页
前言
1 几何问题
2 组合问题
3 行程问题
4 时钟问题
5 数字问题
6 序列问题
7 算账问题
8 概率问题
9 逻辑问题
10 博弈问题
11 策略问题
12 语言问题
13 情境问题
14 以及其他30个问题
版权
浴缸里的惊叹　256道让你恍然大悟的趣题

顾森◎著

人民邮电出版社

北京
前言
阿基米德缓慢地踏进了装满水的浴缸。在那一瞬间，他突然意识到，浴缸里溢出的水的体积一定等于他的身体浸入水中的体积，这个原理可以用于测量不规则物体的体积，进而帮助他完成希伦二世交给他的任务：鉴定皇冠是否由纯金打造。阿基米德大呼一声“εüρηκα”，这在古希腊语当中大致是“我发现了”的意思。在中文里，一个简单的叹词足以代替这句经典的古希腊语，那就是在恍然大悟的时候人们发出的那个念做去声的“哦”。
我从小就很喜欢这种恍然大悟的瞬间，并且会习惯性地把这些瞬间记录下来，以便我今后一遍又一遍地回味。终于，我决定从中挑选出最精彩的瞬间，以256道趣题的形式与大家分享，于是便有了大家手中的这本趣题集。
感谢我的妻子雪琴为我制作插图，设计版式。感谢王军花编辑、张霞编辑的辛苦工作。感谢Wikipedia、JSTOR、Google Scholar、Wolfram MathWorld等网站，它们提供了很多有用的资料。最后，感谢家里的两只小猫，在我写作的过程中，它们一直乖乖地在一旁坐着，没有把我的书稿吃掉。
1 几何问题
说到几何问题，大家脑海中浮现的多半是中学时的那些几何证明题和计算题。然而这一次，让我们完全抛开那些对于某些人来说可能并不愉快的回忆，转而去欣赏一些千奇百怪的几何构造。回答这些问题大多不需要艰深的理论基础，只需要动脑发挥想象力，再动笔画一画，或者动手剪一剪，摆一摆，折一折，说不定就可以找到答案了。即便是看了我给出的答案，也不妨在旁边的空白处画一画，看看有没有其他的方案。
先来看一些与图形分割有关的问题吧。
1. 能否把一个等边三角形分成3个面积都相等但形状互不相等的三角形？
能。如下图所示。
2. 如何把一个正方形分割成9个小正方形？想出至少两种不同的方法。
第一种方法很好想，如下图所示。
第二种方法就不好想了，如下图所示。
这里面其实包含了16种不同的方案，如下图所示。
接下来的问题或许更具有挑战性：你能再想出一种与上面给出的所有方案都不同的方案吗？答案如下图所示。
这里还有一个很有意思的问题：把一个正方形分割成n个小正方形，这对于哪些n来说是有解的？答案是，除了n=2, 3, 5以外，对于其他所有的n，把一个正方形分割成n个小正方形都是有可能的。对于n为1, 4, 6, 7, 8的情况，分割方案如下图所示。
对于更大的n呢？注意，每次用横竖两条线把一个小正方形分成4个更小的小正方形后，我们都会让这个图形里的正方形数目增加3个。因此，我们只需要在n=6的方案上增加两笔，就能得到一个n=9的方案；只需要在n=7的方案上增加两笔，就能得到一个n=10的方案；只需要在n=8的方案上增加两笔，就能得到一个n=11的方案；只需要在n=9的方案上增加两笔，就能得到一个n=12的方案……于是，其他所有的情况都被我们解决了。
3. 能否把一个正方形分成大小互不相同的7个等腰直角三角形？
答案是肯定的，如下图所示。
4. 有没有什么等腰三角形能被分割成两个小等腰三角形？找出4种这样的等腰三角形。
答案如下图所示。其中，最好找的是顶角为90°的等腰三角形，不太好找到的是顶角为36°的等腰三角形，更不好找到的是顶角为108°的等腰三角形，最不好找到的是顶角x=(180/7)°的等腰三角形。
5. 能否在纸上画一个钝角三角形，然后把它分割成若干个锐角三角形？
这是我最喜欢的几何谜题之一。令人难以置信的是，这竟然是可以办到的！每当我在课堂上提出这个问题的时候，学生们总会疯狂而盲目地进行尝试。根据我的观察，绝大多数人都会先画一个不那么钝的钝角三角形（其实这本质上并不会简化我们的问题），然后作出一系列类似于图(1)的尝试，但最后都以失败告终。此时我往往会反复强调：要有方法啊，要有方法！
首先，想必很多人已经注意到了，我们必须在钝角里引出一条线，如图(2)所示，这样才能把钝角给消除掉。接下来，则是很少有人意识到的一点：我们不能让这条线一直延伸到对边，否则原三角形将会被分成一个锐角三角形和一个钝角三角形（或者两个直角三角形），这并不能解决根本问题。也就是说，这条线在到达对边前就必须得分岔。最后一个关键的问题就是，分成几岔？显然，像图(3)那样分成三岔是不够的，因为这样只能把一个周角分成4份，它们不可能都是锐角。为了让所有的角都是锐角，我们至少要让这条线分成四岔，如图(4)所示。最后，再把一些没有连起来的点连起来，我们就得到一个像模像样的答案了，如图(5)所示。
有的读者或许会说，等等，你怎么敢肯定，图(5)中的每个小三角形都是锐角三角形呢？其实，我也不敢肯定。不过，我并没有说图(5)就是最终的答案。为了证明确实有一个钝角三角形能被分成若干个锐角三角形，我们需要给出一个确凿的、能供他人进行验证的例子。图(5)并不是一个确凿的例子，但它给我们提供了构造这种例子的思路，或者更贴切地说，构造这种例子的模板。借助这个模板，我们很容易得到下面这种构造方案。
如图，首先，画一个正五边形ADEFG。然后，找出它的中心O，将它分别与A、D、E、F、G相连。最后，延长AD和FE并交于点B，延长AG和EF并交于点C。那么，整个大三角形ABC将会成为一个顶角为108°的等腰三角形。这就是一个绝对让人信服的例子，我们能精确地算出这里面的每个小三角形的每个内角的度数，从而说明每个小三角形的确都是锐角三角形。
这个有名的问题最早出现在1960年3月的《美国数学月刊》（The American Mathematical Monthly）上。同年11月，美国的一位中学数学老师Wallace Manheimer给出了一 ............

书籍插图：

以上为书籍内容预览，如需阅读全文内容请下载EPUB源文件，祝您阅读愉快。