黎曼猜想漫谈 - (EPUB全文下载)

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黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴
作　　者：卢昌海
责任编辑：胡洪涛
封面设计：蔡小波
责任校对：刘玉霞
责任印制：杨　艳
目录

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《黎曼猜想漫谈》读后感（代序）
1 哈代的明信片
2 黎曼ζ函数与黎曼猜想
3 素数的分布
4 黎曼的论文——基本思路
5 黎曼的论文——零点分布与素数分布
6 错钓的大鱼
7 从零点分布到素数定理
8 零点在哪里
9 黎曼的手稿
10 探求天书
11 黎曼-西格尔公式
12 休闲课题：围捕零点
13 从纸笔到机器
14 最昂贵的葡萄酒
15 更高、更快、更强
16 零点的统计关联
17 茶室邂逅
18 随机矩阵理论
19 蒙哥马利-欧德里兹科定律
20 希尔伯特-波利亚猜想
21 黎曼体系何处觅
22 玻尔-兰道定理
23 哈代定理
24 哈代-利特尔伍德定理
25 数学世界的“独行侠”
26 临界线定理
27 莱文森方法
28 艰难推进
29 哪里没有零点
30 监狱来信
31 与死神赛跑的数学家
32 从模算术到有限域
33“山寨版”黎曼猜想
34“豪华版”黎曼猜想
35 未竟的探索
附录A 欧拉乘积公式
附录B 超越Zeta Grid
附录C 黎曼猜想大事记
人名索引
参考文献
初版后记
德国数学家波恩哈德・黎曼（1826—1866）
黎曼猜想的“诞生地”——黎曼的论文《论小于给定数值的素数个数》
《黎曼猜想漫谈》读后感（代序）
王元
一
随着公众数学水平的逐渐提高，越来越多的人知道黎曼（Riemann）猜想这个问题，我们将它记为RH。特别是RH曾被希尔伯特（Hilbert）列入他的二十三个问题的第八问题，现在又被列为克莱数学研究所提出的千禧年七大待解决难题之一，备受关注。不少人已经知道RH是数学中第一号重要问题。
但RH是个什么问题？为什么重要？至今似未见一篇有相当深度的普及文章来加以解释，常常需要参见数学专业著作与文献，才能得知一些。因此，一般人恐怕仅仅只知道有这么一个问题而已。
卢昌海在《数学文化》上的六期连载文章《黎曼猜想漫谈》，对RH相关问题作了详细的解释。文章中关于数学的阐述是严谨的，数学概念是清晰的。文字流畅，并间夹了一些流传的故事，以增加趣味性与可读性。从这几方面来看，都是一篇很好的雅俗共赏的数学普及文章。
数学普及文章最要紧的是严谨性，有一些普及文章像在讲故事，不谈数学本身，从而读者在读完后，会觉得不知其所以然，一头雾水。
二
RH发端于黎曼在1859年的一篇文章，其历史远比费马（Fermat）大定理（FLT）与哥德巴赫（Goldbach）猜想（GC）的历史短得多，而且不像这两个问题那样，只要有中小学数学知识的人，就知道其题意。
要了解RH的题意，则至少需要知道亚纯函数的含义。所谓黎曼ζ函数ζ（s）（s=σ+it）是一个复变函数，它在右半平面σ＞1上由一个绝对收敛的级数
来定义。所以，ζ（s）在σ＞1上是全纯的。它在左半平面σ≤1上的情况如何呢？则需要将ζ（s）解析延拓至全平面，延拓后的ζ（s）是一个s平面上的亚纯函数，它只在s=1处有一个残数为1的1阶根。ζ（s）仅在左半平面s≤1上有零点s=-2n（n=1，2，……）。这些零点称为ζ（s）的平凡零点，剩下的零点则位于狭带0≤σ≤1之中，这些零点称为ζ（s）的非平凡零点。所谓RH是说：
RH与素数在自然数中的分布密切相关。我想一般关于RH的普及文章也就讲到这里了。
卢昌海的文章从这里讲起，他介绍了ζ（s）的开端，即欧拉（Euler）关于ζ（s）的工作，其中s为实变数，及高斯（Gauss）关于不超过x的素数个数π（x）的猜想
这是素数分布的中心问题。独立于高斯，勒让德（Legendre）也对π（x）作了猜想
由于，所以我们称
为“素数定理”。素数定理已由阿达马（Hadamard）与德·拉·瓦·布桑（dela Valee Poussin）于1896年独立地证明了。但人们期望有一个具有精密误差项的素数定理。可以证明用高斯的猜想公式比勒让德的猜想公式的误差项要精确得多。在RH之下，可以证明
反之，由这个公式也可以推出RH。所以，这个公式可以看作RH的算术等价形式。由此足见RH的极端重要性了。
然后，卢昌海的文章深入到了ζ（s）较近代的重要研究：其实，黎曼的文章中还包括了几个未经严格证明的命题。除了RH之外，都被阿达马与曼戈尔特（Mangoldt）证明了，只剩下现在所谓的RH。
命N（T）表示ζ（s）在矩形0≤σ≤1，0＜t＜T中的零点个数，黎曼作了猜想
这个结果已由曼戈尔特证明。命N0（T）表示在线段σ=，0＜t＜T上，ζ（s）的零点个数，则塞尔伯格（Selberg）证明了，存在正常数c与T0使
这个结果是非常惊人的。它说明了ζ（s）在线段σ=，0＜t＜T上的零点个数与它在矩形0≤σ≤1，0＜t＜T上的零点个数相比，占有一个正密度，而线段的二维测度为零。卢昌海还介绍了往后数学家关于c的估计的重要工作：c≥（莱文森（Levinson））与c≥（康瑞（Conrey））。
卢昌海用了相当多的篇幅介绍了ζ（s）的非平凡零点的计算方法与大量的计算结果。
这两方面的成果，大大加强了人们对RH正确性的可信度。
三
黎曼ζ函数ζ（s）与RH都是“原型”，有不少ζ（s）与RH的类似及推广。这些类似及推广都有强烈的数学背景。
卢昌海的文章中谈到了这个问题，即他所谓的RH的“山寨版”与“豪华版”。所谓山寨版，就是RH的某种类似，而豪华版则为RH的某种推广。无论是山寨版，还是豪华版，其数学背景都是极其重要的。
卢昌海介绍了有限域Fq上的平面代数曲线对应的RH，即每一条满足一定条件的代数曲线都对应于一个L函数，它们的零点都位于直线σ=上。这一命题已由韦伊（Weil）证明，而且韦伊对于高维代数簇的RH也作了猜想。这个猜想已由德利涅（Deligne）证明。这些无疑都是20世纪最伟大的数学成就之一。据我所知韦伊与德利涅的结果对解析数论就有极大的推动。例如，由韦伊证明的RH可以推出模素数p的克卢斯特曼（ ............

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