轻松学习微积分·译言古登堡计划 - (EPUB全文下载)

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前 言
鉴于这么多糊涂虫都会微积分，而居然还有另一些糊涂虫认为掌握这种本领是艰难枯燥的差事，这就太不可思议了。
在微积分的这些技巧中，有些非常简单，有些则极其困难。那些编写高等数学教科书的傻瓜们——绝大多数是聪明的“傻瓜”——几乎不会费心向你展示计算过程如何简单。相反，他们希望选用最高深的方法来解决问题，好让你臣服于他们的绝顶聪明。
作为一个子脑瓜不灵光的人，鄙人曾迫使自己把那些冗繁的方法抛到脑后，而现在，请允许我将微积分中相对简单的部分呈现给我的同仁们。只要将这些内容彻底掌握，余下的部分也就水到渠成了。我能做到，你也能做到。
第一章 克服微积分恐惧症之初探
大多数中学五年级
（1）

的学生可能开始尝试学习微积分时就被吓得缩手缩脚，其实只要用通俗易懂的语言把计算中会用到的两个基本符号说清楚，这种恐惧感一出现就可以被化解，并且一劳永逸。
这些让人讨厌的符号包括：
（1）表示“一丁点……”的d：dx（或者du）就代表一丁点的x（或者u）。数学家们通常认为把dx表述成“一小部分”会比“一丁点”更为恰当，你要这么称呼也可以，但是切记，这些“一丁点”（或者一小部分）表示无限小。
（2）作为加长版S的ʃ，可以叫作“……的总和”：因此ʃdx（或ʃdt）代表所有一丁点的x（或者t）的总和。数学家们通常称这个符号为“积分”。现在事情就再明显不过了，如果把x看作是由大量的小部分组成的，每个小部分称作dx，把它们全都加在一起所得到全部dx的总和——也就是一个完整的x。简单来说，“积分”一词代表“全部”。如果把一段时间的长度想像成一个小时，你将它细分成3600份（多少份你说了算）称为秒，那么这3600份全部加在一起就组成了一小时。
从今往后，当你看见一个以这种可怕的符号开头的式子，只要知道，它不过是要引导你把跟在后面的所有一连串的小部分加起来（只要你会加法）。
如此而已。
以英国等地为代表的中学学制下的五年级学生，水平与中国学制的高一、高二学生相当。（译者注）
第二章 微小到微乎其微
在计算过程中，我们常常会发现自己需要处理不同程度的微小数量，可以说是从微小到微乎其微。
同时，我们也需要知道在什么情形下可以对微小的数量忽略不计。这一切均取决于其相对的微小程度。
在确定任何法则之前，我们先来举几个身边的例子。一小时有60分钟，一天有24小时，一周有7天。因此，一天有1440分钟，一周则有10080分钟。
很显然，1分钟与整整一周比起来，时间少之又少。不过事实上我们的祖先认为1分钟相对1小时来说也很少，于是称其为“片刻”（one minute），意思是微小的时段，即1个小时的1/60。当需要把时间进行更细微的划分时，他们又将1分钟分为60份更为细微的时段，这些更小的部分在伊丽莎白女王时代
[1]

被称作“片刻的片刻”（second minutes），即为第二级别的微量。如今，我们称这些第二级别的微量为“秒”，却很少有人知道为什么会这样命名。
既然1分钟与一整天相比已是相当小了，1秒钟与一整天相比又是何其之小啊！
接下来，我们再比较一下1法新
[2]

和1金币（旧制）：前者仅仅比1金币的千分之一多一点。1法新与1个金币相比几乎可以说是无足轻重，它可以被视为极小的价值量。但是1法新与1000金币相比较，对于这一大笔钱来说，1法新和1法新的千分之一都是无足轻重的。即便是1个金币，在百万金币的巨额财富中也不过是沧海一粟。
现在如果我们能定义出一个任何时候都通用的划分法，作为按比例组成的一部分，我们可以称之为“相对微小”，如此便可以轻而易举地引出一个更为微小的部分。因此，如果要表述一个时间，
就可称为一小部分，而
的
（一小部分中的一小部分）就可以被视作“少量的二阶微量。”
[3]
或者说，若将1％（即
）作为一小部分，那么
的
（即
）就是二阶微量的一小部分，而
，也就是
的
的
，即为三阶微量的一部分。
最后为了精确起见，可将
看成是“很小的部分”。这样说来，要让一台最精确的天文钟在一年内或快或慢都不超过半分钟的话，时间需精确到
。为了
实现这一目的，可将
作为微量，那么
的
就是
，即是二阶的微量，相形之下便可以完全忽略了。
如此看来，微量越小，则相对应的二阶的微量越可忽略不计。由此可以推论，在任何情况下，当所选的第一阶的微量取足够小时，我们就完全可以忽略第二阶、第三阶或是更高阶的微量。
不过必须牢记的是，当这些微量作为因子与其它因子相乘时，若其它因子很大，这些微量也将随之增大。哪怕只是乘上几百，连不起眼的1法新也会变得举足轻重了。
现在回到微积分上面来，我们将dx看成是一丁点的x。dx、du和dy之类都被称为“微分”，分别为x、u和y的微分。如果说dx是一丁点的x，那么dx就很小了，而x⋅dx、x2
dx和ax
dx却不可小觑。可是作为二阶的微量dx×dx是可以忽略的。
现在用一个极其简单的例子来加以说明。
我们认为x可以增长一个微量到x+dx，此处的dx是一个很小的增量，那么增加之后的正方形面积是x2
+2x⋅dx+（dx）2
。由于第二项是第一阶的量，所以不能被忽略；而第三项是第二阶的微量，也就是一丁点的x2
。假如我们赋予dx一个具体数值，比如x的
，那么第二项就是x2
的
，而第三项，也就是最后一项显然要比第二项小得多。进一步讲，如果假设dx只是x的
，那么第二项是x2
的
，第三项仅为x2
的
用几何图形可以这样描述：如图1所示，边长为x的正方形，假设每个边长都增加dx，那么增加以后的正方形面积是由原来的正方形面积、上方和右侧的长方形面积x⋅dx（或二
者之和2x⋅dx）以及右上角小正方形的面积（dx）2
组成。图2中假设dx较大，约为x的
；
图1
然而，若只取x的
——粗细相当于一道极细的铅笔线，则右上角的小正方形面积仅为x2
的
，基本上就看不到了。显然可以 ............

书籍插图：

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